祈祷連歌: 欠点克服停滞率

2004年11月26日

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「Ryo.Matsudaのほろ酔い徒然」の１１月２４日の日記「人のアサイン」に面白い話があった。

* Ａさん（スキルＡ＝100点、スキルＢ＝80点、スキルＣ＝20点）
* Ｂさん（スキルＡ＝30点）

次の二つの仕事がある場合、どうアサインするか？

* スキルＡが必要な仕事
* スキルＣが必要な仕事

第一印象で答えれば、Ａさんのスキルの合計点は２００点なのに対してＢさんのスキルは高々３０点なので、ＡさんがすごすぎだとしてもＢさんは明らかに半人前に見受けられる。半人前の人間はベテランの下に付けるのが無難だろうということで、Ｂさんを単独で仕事にはアサインしないというのが考えられると思う。するとＡの仕事もＣの仕事も両方とも、Ａさん中心＋Ｂさん補佐というアサインメントはありがちなやり方ではないかと思う。

Ｃの仕事はどちらにアサインしても２０点とか３０点とかしかできないのだから、そういう仕事は受注しないという選択子も十分考慮にいれるべきなのかもしれない。実際問題としてはこれが正解だろう。そうやってたらいまわしにされた仕事は私のようなところにまわってくるのだが。

上の答は、どちらかをどちらかに割り当てるといったデジタルなものではなく、アサインメントが按分できることを前提にしている。それではどのような比率に按分するのが最適解なのだろうか。

ＡさんをスキルＡを必要とする仕事に比率ｒで割り当て残りはＢさんにやらせるとし、同時にＡさんとＢさんの余力をスキルＣを必要とする仕事に割り当てるとする。すると、

スキルＡを必要とする仕事の合計点数＝ $100r+30(1-r)$
スキルＣを必要とする仕事の合計点数＝ $20(1-r)+0r$

となるから、二つの仕事の合計は単純に足して $50r+50$ となる。 rは０以上１以下なのだから、この合計を最大にするのは $r=1$ のときである。つまり、ＡさんをスキルＡを必要とする仕事に全力投球させ、Ｂさんにはなにもさせない(いずれは首にする)という解釈になる。

しかし、人間というものは向上するものである(逆もあるが)。よって、各人とも仕事が終わるとスキルが上がるとしよう。テレビゲームでいえば戦闘が終わると経験値をゲットするようなものだ。ただＡさんのスキルＡがすでに１００点なので、スキルが青天井だと面白くないからちょっと凝ったシステムを考えてみる。仕事が終わって向上するスキルは１００点までの足りない分が仕事の点数に比例して減るとしてみよう。例えば、ＡさんをスキルＣを必要とする仕事に按分率５０％でアサインした場合、その仕事の点数は１０点なのだから、ＡさんスキルＣの１００点までの残り８０点のうち１０／１００が減って７２点になり、つまりＡさんのスキル２０点が２８点に向上するとする。こうやって何回か仕事をこなしていけば、最初は会社にとってリスクではあるが、メンバーのスキルがだんだんと向上していくのでうれしいということにはならないだろうか。検証してみよう。

しかしながら、このモデルには致命的な欠陥があって、ＢさんはいつまでたってもスキルＣを向上させることができない。その理由は、初期条件のＢさんのスキルＣが０点であることに起因する。よって、かなりインチキではあるが、ＢさんのスキルＣは最初は例えば１点とか１０点とか、０点以外の点数をもっていたのであると設問を変更させてもらおう。

まずはこのモデルのアイディアをグラフの形にしてみた。 /yuntanach/blog/000093_1.gif 話を単純化して、単独で仕事をしたと限定して考えた時のスキルＣの点数が向上していく様子がプロットされている。グラフは縦軸がスキルの点数、横軸が仕事の反復回数で、上側の折れ線から順に、90、50、30、10、5、1、0.1の初期値で始まっているものである。Ｂさんは最初スキルＣの点数が30(上から3番目の折れ線)であるが、仕事をこなす事７回目にはほぼパーフェクトなスキルを身につけていることがわかる。また、同様に初期値が1のほとんど素人同然の人の場合(下から2番目)だとパーフェクトなスキルを身につけるまで１０回以上の仕事をこなす必要があることがわかる。この場合、３～４ヶ月かかる仕事なら一人前になるまで実に３年の年月が必要ということになる。私の見聞きした範囲でほぼ素人同然の人でも１年後にはいっぱしのプロジェクトメンバーとしてそれなりの仕事を任されてしまっている現状を考えるに、３ヶ月で終わるような小さな仕事だと、この３年という年月はちょっと長いかもしれない。このような極端な例はおいていくにしても、自分を振り返って新技術には日頃から唾をつけておいていざというときのために最低でも初期値0.5はクリアしたいところである。

ここで、人物を表すＡ、Ｂとスキルや仕事を表すＡ、Ｂ、Ｃが紛らわしいので、人物はa、b、スキルをu、v、wと表すことにす。またスキルと仕事はとりあえず同一視して、スキルuを必要とする仕事も仕事uと表すことにする(実際には仕事は複数のスキルを必要とするだろう)。まだ、n回目の仕事が終わったときのaさんのスキルuの点数を $S_{au}(n)$ と表すことにしよう。初期値n=0の場合がもともとの設問となる。

すると、n回目の仕事uとwの点数 $J_v(n)$ と $J_w(n)$ は、aさんを仕事uにアサインする按分率をr(n)とすると次のようになる。

n回目の仕事uの点数＝ $J_u(n)=S_{au}(n-1)r(n)+S_{bu}(n-1)(1-r(n))$
n回目の仕事wの点数＝ $J_w(n)=S_{aw}(n-1)(1-r(n))+S_{bw}(n-1)r(n)$

そしてこの仕事をこなした後、各人のスキルは次のようになる。

n回目の仕事の後のaのスキルuの点数＝ $S_{au}(n)=S_{au}(n-1)+(100-S_{au}(n-1))\large\frac{J_u(n)}{100}$

ここで、式にいちいち満点を表す１００が入ってくるのがうっとうしいので、またもや設問を変えて、点数は０点～１００点ではなく、０～１の値をとるとする。すると、上記の各人のスキルの式は次のようになりすっきりする。

n回目の仕事の後のaのスキルuの点数＝ $S_{au}(n)=S_{au}(n-1)+(1-S_{au}(n-1))J_u(n)$

同様にメンバーa、b、スキルu、wのそれぞれについて点数値を列挙すると次のようになる。

$S_{au}(n)=S_{au}(n-1)+(1-S_{au}(n-1))J_u(n)$
$S_{bu}(n)=S_{bu}(n-1)+(1-S_{bu}(n-1))J_u(n)$
$S_{aw}(n)=S_{aw}(n-1)+(1-S_{aw}(n-1))J_w(n)$
$S_{bw}(n)=S_{bw}(n-1)+(1-S_{bw}(n-1))J_w(n)$

これらの式に仕事の点数Jを代入すると次の式が得られる。

$S_{au}(n)=S_{au}(n-1)+(1-S_{au}(n-1))(S_{au}(n-1)r(n)+S_{bu}(n-1)(1-r(n)))$
$S_{bu}(n)=S_{bu}(n-1)+(1-S_{bu}(n-1))(S_{au}(n-1)r(n)+S_{bu}(n-1)(1-r(n)))$
$S_{aw}(n)=S_{aw}(n-1)+(1-S_{aw}(n-1))(S_{aw}(n-1)(1-r(n))+S_{bw}(n-1)r(n))$
$S_{bw}(n)=S_{bw}(n-1)+(1-S_{bw}(n-1))(S_{aw}(n-1)(1-r(n))+S_{bw}(n-1)r(n))$

ちょっとめんどうだが、これらの式は次のように変型できる。ここで、式がごちゃごちゃしてきたので、 n-1で一回前のアサインメントを表すのではなく、プライム＇をつけることで前回を表すようにした。

$1-S_{au}=\{(1-r)(1-S_{bu}^\prime)+r(1-S_{au}^\prime)\}(1-S_{au}^\prime)$
$1-S_{bu}=\{(1-r)(1-S_{bu}^\prime)+r(1-S_{au}^\prime)\}(1-S_{bu}^\prime)$
$1-S_{aw}=\{r(1-S_{bw}^\prime)+(1-r)(1-S_{aw}^\prime)\}(1-S_{aw}^\prime)$
$1-S_{bw}=\{r(1-S_{bw}^\prime)+(1-r)(1-S_{aw}^\prime)\}(1-S_{bw}^\prime)$

まだ、ごちゃごちゃしてみずらいので、 $1-S_{au}$ を $D_{au}$ と置き換えてみよう。

$D_{au}=\{(1-r)D_{bu}^\prime+rD_{au}^\prime\}D_{au}^\prime$
$D_{bu}=\{(1-r)D_{bu}^\prime+rD_{au}^\prime\}D_{bu}^\prime$
$D_{aw}=\{rD_{bw}^\prime+(1-r)D_{aw}^\prime\}D_{aw}^\prime$
$D_{bw}=\{rD_{bw}^\prime+(1-r)D_{aw}^\prime\}D_{bw}^\prime$

かなりすっきりとしてずいぶんきれいな式になった。

この $D_{au}=1-S_{au}$ はなにを意味するのかというと、１つまりスキルがパーフェクトな状態から現在のスキルを引いたわけだから、自分のスキルで今後向上する余地、言い換えると現在の自分の欠点を表していると考えることができる(前提として、だれもがパーフェクトな存在になることを目指しているとしている。現実はそうではなく、自分は不完全なまま少ない労力でなるべく多くをゲットしようと腐心するのが大多数であるが)。

最終的には各DをJの式に代入して仕事の点数の合計を比べられるようになれば良いのだが、その前にこの式をもう少し掘り下げてみよう。まず両辺を $D^\prime$ でわって、右辺から右側にある $D^\prime$ を取り除いてみる。本当はこの漸化式をｎについて解きたかったのだが、難しいので断念した。で、急遽比率を調べてみることにしたわけである。

$\large\frac{D_{au}}{D_{au}^\prime}=(1-r)D_{bu}^\prime+rD_{au}^\prime$

$\large\frac{D_{bu}}{D_{bu}^\prime}=(1-r)D_{bu}^\prime+rD_{au}^\prime$

$\large\frac{D_{aw}}{D_{aw}^\prime}=rD_{bw}^\prime+(1-r)D_{aw}^\prime$

$\large\frac{D_{bw}}{D_{bw}^\prime}=rD_{bw}^\prime+(1-r)D_{aw}^\prime$

この式は、前回の欠点に対する今回の欠点の割合を示している。この値が０に近付くほど多くの欠点が克服され、１に近付くほど欠点の克服が停滞してそのままになっていることを表している。もしかしたら１を越えてしまい、欠点が増えるようなこともあるかもしれない。これを、ちょっと長いが、欠点克服停滞率と名付けよう。ちなみに、１からこれを引いて $1-\frac{D}{D^\prime}=\frac{D^\prime-D}{D^\prime}$ を計算したならば、それは停滞しなかった分、つまり、前回の欠点に対する克服した欠点の比率を表すので、それは欠点克服率といってもいいだろう。

実はこの欠点克服率はだいたいスキルの曲線と同じような曲線を描くということがわかっている。なぜなら、r=0のときを考えれば $D_{au}(n)=D_{au}(0)\prod\limit_{i=1}^n{D_{bu}(0)^2^i$ となるので、どういう初期値で始めようともＤが０以上１以下である限りはnが大きくなればなるほど０に近づくからである。欠陥Ｄがそのように解けるなら、欠点克服率は $1-D_{bu}(0)^2^n$ となる。これと上のグラフを見比べてみて欲しい。二乗がある分だけグラフが下側に歪むが二乗の部分以外はほぼ同じような形をしたものになるはずだ。本来なら一般のrについて論ずるべきだが、それを説明するには漸化式を完全に解かねばならず、いずれパワーのありあまっているときにでも再チャレンジしてここを埋めることにして、今回はお茶を濁す(実はこの部分が重要だったりするのだが)。

この式は一見してちょっと常識からずれた変な部分があるように見える。例えば、aさんならこう考えるであろう。「自分の欠点の克服の度合が、なんであんな半人前のb君の欠点に依存するんだ？」

この疑問を追及するには、まず、rと欠点克服停滞率の関係をよくみきわめなければならない。一般性を失わない範囲で、仮定としてaさんのスキルuはb君のそれより高いとしてみる。 $\frac{D}{D^\prime}$ はrについてまとめると次のようになる。

$\large\frac{D_{au}}{D_{au}^\prime}=(D_{au}^\prime-D_{bu}^\prime)r+D_{bu}^\prime$

$\large\frac{D_{bu}}{D_{bu}^\prime}=(D_{au}^\prime-D_{bu}^\prime)r+D_{bu}^\prime$

$\large\frac{D_{aw}}{D_{aw}^\prime}=(D_{bw}^\prime-D_{aw}^\prime)r+D_{aw}^\prime$

$\large\frac{D_{bw}}{D_{bw}^\prime}=(D_{bw}^\prime-D_{aw}^\prime)r+D_{aw}^\prime$

aさんのスキルuの欠点克服停滞率はrが小さいほど小さくなる。 aとbのスキルに差が大きいほど、スキルの低い方を比重を大きくしてアサインしたほうが、最終的にメンバー全員のスキルの延びは停滞が少ないことを表している。逆にスキルの差があまりない場合は、rをどう調節しても大した違いは生じない。また、b君のスキルuの欠点克服停滞率はaさんのそれと同じになる。各人が別個にスキルを伸ばすのではなく、チームとしていっしょに伸びることを示唆している。 aさんとb君はスキルの向上に関して運命共同体なのである。運命共同体、これがaさんの疑問に対する答だ。

ひとつ残念なことに、このモデルではrの次数が１次なので、 r=0のときが最適解、r=1が最悪解ということになり、当初前提にもってきたアサインメントを按分する意味が失われてしまっている。

最後に、いよいよJに代入して会社としてトータルで何点の仕事をこなせるようになるかを考えてみよう。 $J_u$ と $J_w$ を足してDについて表したらどうなるかみてみよう。

$\begin{eqnarray}J_u+J_w&=&(1-D_{au}^\prime)r+(1-D_{bu}^\prime)(1-r)+(1-D_{aw}^\prime)(1-r)+(1-D_{bw}^\prime)r\\&=&r+(1-r)+(1-r)+r-(rD_{au}^\prime+(1-r)D_{bu}^\prime)-((1-r)D_{aw}^\prime+rD_{bw}^\prime)\\&=&(1-\frac{D_{au}}{D_{au}^\prime})+(1-\frac{D_{bw}}{D_{bw}^\prime})\end{eqnqrray}$

式の最後では、仕事の点数の総合計は前回の仕事からの欠点克服率の合計になることが判る。意外にも簡単な式になったので、当の本人もびっくりである。下らない計算ミスなどしていなければいいのだが…。この式の解釈は、最初はトータルの点数は悪かったとしても、経験を積めば積むほどそれに応じて点数も上がるということになる。上のグラフでは単独で一つの仕事をした場合の話だったが、チーム全体でも同様のことが起こる。

要するに、

欠点の多い部分にこそ戦力を投入せよ
直近の利益より、長期的視点にたて
個々のスキルはみんなで一丸になって伸ばそう
何度でも反復して精進することが大事
さすれば、いつかはパーフェクトな存在になれれる

ということだ。学校などで、「苦手科目の克服こそが勉強の王道」などとできの悪い生徒に渇を入れる熱血教師とかが言いそうな内容である。

rの按分については、Ryo.Matsuda氏の日記だと、r=0の場合とr=1の場合が挙げられている。r=0の場合とは、ＡさんをスキルＣの仕事に割り当て、ＢさんをスキルＡの仕事に割り当てた場合に相当し、r=1の場合とは、ＡさんをスキルＡの仕事に割り当てもう一方の仕事は事実上断わるというものであった。ちなみに、仕事の点数はそれぞれ合計５０点と合計１００点になる。だから後者のr=1のケースを採用したほうが、会社としてはトータルでは高い点数の仕事をしたことになる。その場合、Ａさんはいつでも１００点の仕事をし、会社としては二つの仕事で合わせて１００点平均して５０点の仕事を延々と行ない、おそらく首になったであろうＢさんはいつまでたっても３０点のスキルしかもてず、自分よりスキルの低い人ばかりのところにたどりつくまではいつまでたっても日の目をみれず転職を繰り返すというのがこのケースの解釈である。

一方、r=0のケースでは、最初は二つの仕事で合わせて５０点平均して２５点の結果しかだせなかったが、同じ仕事を何回も行なううちにだんだんとちょっとづつ良い点数で行なえるようになり、十分時間をかければ合わせて２００点平均して１００点の仕事をこなせるようになる。メンバーにスキルが低い人がいて、たとえ点数の低い仕事しかできなかったとしても、しばらくの間はおたがい融通しあって辛抱強く仕事をこなしていきけば、いつかは必ずむくわれるという非常にハッピーエンドな世界がこのモデルの結論である。

このモデルでは、前提として仕事をするたびに欠点が克服されるという非常に楽天的な仮定が根底にあった。しかも、欠点が多い人ほど克服する分が多いというきわめて乱暴な条件でつくられたモデルである。しかも、最も奇妙キテレツなこととして、チームのだれかがある割合で欠点を克服しスキルを向上させると、他のメンバー全てが同じ克服率を達成できてしまうことだろう。向上したスキルのレベルは人それぞれだが、仕事が終わるたびに同じ割合だけ欠点が克服されていくのだ。これはまったくもっておかしい話に聞こえる。現実の世界はそういう具合いに簡単なものではないので、そういう意味でここでの結論は数字遊び以外のなにものでもないだろう。

上で欠点克服率の漸化式は一般のrについては解かなかった。もしかすると、漸化式を完全に解き、毎回仕事をアサインするたびにｒを変えるなどすると、より現実的な解が得られるのかもしれない。こういうところにもモデルが現実的でないように感じる原因がある。また、自分のスキルが相手の欠点克服に依存するのは、仕事が終わってスキルの点数を増加させるときに、 r=0のときなど実質上自分が関与していない仕事の場合でも自分の経験値に加えてしまうあたりが原因にあるのだろう。このあたりは改良の余地がたくさんある。しかし、この単純だがあまり現実的でないこのモデルが、社会主義的な結論に導かれたのはある意味示唆的であるとも思う。

ちなみに、十分に検算をしているとはいい難いので、どこかで下らない計算ミスをしていて、そのため結論が全く間違ったものである可能性もかなりある。その場合は悪しからずご了承願いたい。

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Posted by yuntanach at 19:10 |コメント (0) | トラックバック (1)

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Title: 欠点克服停滞率(改)
Excerpt: 前回の「欠点克服停滞率」ではその時の都合で条件を限定したモデルを作った。その結果は主観的に実状とは即しているとは言いがたいようなものであった。少なくとも自分としては
From: 祈祷連歌
Date: 2004.11.29